Gibt es eine Möglichkeit das Messenger Design für die CSS Anpassungen direkt im Browser via URL aufzurufen?

Du kannst Styles nicht mit einem URL-Parameter aufrufen.
Die Styles werden mit Cookies eingestellt, konkret mit dem Cookie Style.
Benutze ein Tool deiner Wahl (z.B. die DevTools) um den Wert des Cookies zu ändern oder ggf. zu setzen.
Aber wenn du größere Umbauten vornehmen willst, dann installiere den Chat halt in einer Entwicklerumgebung ohne Besucher.