(Ich weiss... was wäre, wenn sich der user mit einer ausgedachten Mailadresse anmeldet. )

Genau das ist der Grund. Die Mailadresse wird nicht verifiziert. Wer eine korrekte Mailadresse angibt, kann vom Chatbetreiber bei Bedarf kontaktiert werden, wenn nicht, dann chattet er eben anonym.

In diesem Zusammenhang: Wie verhält es sich eigentlich mit der Registrierung für den Chat im Zusammenhang mit der DSGVO?

Die Datenverarbeitung im Rahmen der Chatfunktion erfolgt nach Art. 6 Abs. 1 lit. b DSGVO:
(1) Die Verarbeitung ist nur rechtmäßig, wenn mindestens eine der nachstehenden Bedingungen erfüllt ist:
...
(b) die Verarbeitung ist für die Erfüllung eines Vertrags, dessen Vertragspartei die betroffene Person ist, oder zur Durchführung vorvertraglicher Maßnahmen erforderlich, die auf Anfrage der betroffenen Person erfolgen;

Eine explizite Zustimmung des Users ist also nicht erforderlich.

Wenn eure Website aber eine Datenschutzerklärung braucht, dann solltet ihr auch im Chat einen Link auf diese Datenschutzerklärung setzen. Schau dir diesbezüglich mal meinen Demo-Chat an.