Der Aufruf mit dem filemtime-Parameter ist definitiv nicht die Ursache für deine Probleme. Was da in den DevTools angezeigt wird, ist einfach der Aufruf von chat.php mit dem URL-Parameter.

Den Fehler Cannot serve directory chat.xn--radio-partyhlle-ktb.de/chat/img/ kann ich leider nicht nachvollziehen. Es gibt im Script keinen Aufruf des Ordners img ohne file, das den Server veranlassen könnte, das file /img/login.php zu suchen. Vielleicht versucht irgendeine deiner Anpassungen den Ordner img/ aufzurufen.

Ein 500 (Internal Server Error) könnte evtl. auf eine fehlerhafte .htaccess hinweisen.