ich habe auf unserer Seite bereits einen html5 Player eingefügt, mit meinem Browser funktioniert er

Meine Kristallkugel sagt mir: "Dein Browser" ist Firefox.

… mit anderen Browsern funktioniert der leider nicht.

Das ist ein Sicherheitsfeature der "anderen Browser". Dein Stream (http://193.32.xxx.xxx:8000/;stream.mp3) sendet auf einer unsicheren Verbindung (http), und du versuchst, ihn in eine gesicherte Seite (https://www.retter-radio.de) einzubinden.
Du hast zwei Möglichkeiten:
1. Die saubere Lösung: Du stellst deinen Radiostream auf https://… um.
2. https://webdesign.weisshart.de/radiochat.php dort"Abhilfe für Google Chrome"
Letzteres müssten natürlich auch alle deine Hörer mit "Nicht-Firefox" machen.

Nun habe ich den hier gefunden: https://webdesign.weisshart.de/audio_tag_mult_demo_stream.php

Nein, das ändert nichts an deinem Problem, und macht die Sache offensichtlich für dich nur noch komplizierter.