die Ergebnisse werden aber auf einer neuen Seite ausgegeben.

Das liegt an target="_blank" im form-Tag:
<form  id="search" method="get" action="suchen.php" target="_blank">

Ich möchte sie aber in diesem Container (der index.php) ausgeben
<target id="target">

<target> ist kein HTML-Tag – und damit auch kein Container.

Habe auch schon ' target = "target" im <form>-tag ausprobiert

Auch das ist kein gültiges Attribut.

und auch in der search_config.php > $target = "target"

Es gibt in der search_config.php keine Variable $target.

Schau' mal hier: https://funwithforms.com/posts/formtarget-attribute/